【TERA】覚醒強化にどれだけ粉を用意すれば、どのぐらい成功するか？
2015年5月28日 ゲーム覚醒+12→+15にどのぐらいの粉と石がかかるのかという計算。
計算結果だけ見たい人は強調されてる文字だけ見てね。
あと、計算が間違ってる可能性も十分にあるので、それを考慮して読んでね。
まず、１本作るのに必要な粉の期待値を求めてみる。
・確率論でやってみる
成功率25%、失敗率75%の事象で、3回連続成功したら終了。
終了までの回数の期待値を求めよという問題なので、
まず漸化式を求める。
成功率をp、
K回連続成功するまでの期待値をM[K]、
K-1回連続成功するまでの期待値をM[K-1]とすると、
K-1回連続した後に成功するまでの回数の期待値は、M[K-1]+1
K-1回連続した後に失敗するまでの回数期待値は、M[K-1]+1
失敗の場合は、成功するまでにはさらに期待値でM[K]回かかるので、
K-1回連続した後に失敗し、その後成功するまでの期待値はM[K-1]+1+M[K]
pの確率でM[K-1]+1、(1-p)の確率でM[K-1]+1+M[K]なので、
M[K] = p(M[K-1]+1) + (1-p)(M[K-1]+1+M[K]) となる。
M[K]について解くと、
M[K] = M[k-1]/p + 1/p
M[K]を求めるには、特性方程式を用いて漸化式を解けばいいので、
M[K]+1/(1-p) = (1/p)*(M[k-1]/p + 1/p)
↓
M[K] = (1-p^K)/{p^k*(1-p)}
実際の期待値を求めるには、
成功確率25%→p=0.25、連続3回成功すればおわり→K=3
を代入して解けばいいので、
(1-0.25^3)/(0.25^3*(1-0.25))＝84
というわけで、
実際のゲーム内の強化成功確率が25%である場合、
無限に多い数の武器を+12覚醒済み→+15にするには
その叩く回数の期待値は84回となり、
１本あたり平均16800個の粉と石が必要ということになる。
覚醒も含めたら２万個ぐらいか。
ちなみに、
成功率30%で計算すると約51.5回＝10000粉+覚醒2000粉ほど必要
成功率20%で計算すると約155回＝31000粉＋覚醒2000粉ほど必要
という答えになる。
上で約84回とかいう数字が出てきたが、これは、
「+15武器を無限に作りまくった時に、１本あたり84回」
というデータなだけで、
実際には3回叩くだけで+15になることもあれば、
300回叩いてもまだまだ完成しないこともある。
というわけで、次は、
「K回叩けるだけの粉を用意して、全部使う覚悟で叩いた場合、
どのぐらいの確率で+15が完成するか？」
ということを求める。
・何回叩けば、どのくらいの確率で＋１５になるか？
実際には、N回叩ける量の粉と石を用意して叩くと、
N回までに+15になって粉や石が余るというパターンがあるが、
「N回叩くまでに3回連続で成功する確率」は、
＋１５以降も叩ける場合の「全部の石と粉を使い切ってN回叩いて、
その途中で3回以上連続成功が出てくる確率」と同じなので、
N回の間に確率pの事象が3回以上連続で起こる確率 p(N)
を求める。
まず、この確率p(N)を、以下の４つの場合にわけて考え、
「それぞれの場合の発生確率×その場合の時の成功確率」
の合計を計算することで、確率p(N)を求める。
左が最初、右が最後として、
┌ーーーーーー全部でN個ーーーーーー┐
？？ー？？ー・・・・ー？？ー？？ー失敗 （１）
？？ー？？ー・・・・ー？？ー失敗ー成功 （２）
？？ー？？ー・・・・ー失敗ー成功ー成功 （３）
？？ー？？ー・・・・ー成功ー成功ー成功 （４）
この４パターンに分ける。
（１）は「一番最後が失敗だが、それまでのN-1回で3連続以上成功」
（２）は「一番最後から成功ー失敗だが、それまでのN-2回で3連続以上成功」
（３）は「一番最後から成功ー成功ー失敗だが、それまでのN-3回で3連続以上成功」
（４）は「一番最後から成功ー成功ー成功、それまでは関係ない。」
N回やった時の３連続成功確率をp(N)、
N-1回、N-2回、N-3回やった時の３連続成功確率をp(N-1)、p(N-2)、p(N-3)
とすると、
（１）＝0.75*p(N-1)
（２）＝0.25*0.75*p(N-2)
（３）＝0.25*0.25*0.75*p(N-3)
（４）＝0.25*0.25*0.25
p(N)＝（１）＋（２）＋（３）＋（４）
＝0.75*p(N-1) + 0.1875*p(N-2) + 0.046875*p(N-3) + 0.015625
となり、p(N)は、p(N-1),p(N-2),p(N-3)が求まれば計算できる。
まず、叩く回数が2回以下だと、何をどうやっても+12→+15は無理なので、
p(0)=0, p(1)=0, p(2)=0 となる。
これを使うと、
p(3)＝0.75*p(2) + 0.1875*p(1) + 0.046875*p(0) + 0.015625
=0 + 0 + 0 + 0.015625
=0.015625
と、p(3)が求まる。
さらにこれを使えば、p(4)が求まるし、p(4)が求まると、次はp(5)が求まる。
というようにして、順に求めていくことができる。
以下がその計算結果だ。
覚醒強化用に用意した粉の数（覚醒含む） | 叩ける回数 | +15ができる確率
2000粉 | 0回 | 0%
2600粉 | 3回 | 1.5%
3000粉 | 5回 | 3.9%
4000粉 | 10回 | 9.6%
5000粉 | 15回 | 14.9%
6000粉 | 20回 | 20.0%
7000粉 | 25回 | 24.7%
8000粉 | 30回 | 29.2%
9000粉 | 35回 | 33.4%
10000粉 | 40回 | 37.3%
15000粉 | 65回 | 53.8%
20000粉 | 90回 | 66.0%
30000粉 | 140回 | 81.5%
50000粉 | 240回 | 94.5%
まー分かってたことだけど、
粉を万単位用意しないとそもそも成功とか無理だし、
万単位で用意しても、成功できないこともかなりあるという感じだ。
ちなみに、
覚醒用2000+上で計算した期待値の16800粉用意して叩くと、
63.4%の確率で+15に成功するという計算結果になる。
逆に、36%の確率で、用意した粉を全部使ってもできないということだ・・・
一応、強化成功率を30%で計算するとこうなる。
覚醒強化用に用意した粉の数（覚醒含む） | 叩ける回数 | +15ができる確率
2000粉 | 0回 | 0%
2600粉 | 3回 | 2.7%
3000粉 | 5回 | 6.4%
4000粉 | 10回 | 15.5%
5000粉 | 15回 | 23.6%
6000粉 | 20回 | 31.0%
7000粉 | 25回 | 37.6%
8000粉 | 30回 | 43.6%
9000粉 | 35回 | 49.1%
10000粉 | 40回 | 54.0%
15000粉 | 65回 | 72.3%
20000粉 | 90回 | 83.3%
30000粉 | 140回 | 93.9%
50000粉 | 240回 | 99.2%
こちらだと、かなりやさしい。
1万～2万粉用意すればいけるんじゃね？という感じだ。
2キャラでケル３分回しした場合で換算すれば、１２５時間～２５０時間だ。
強化石代も含めるともっとか。
覚醒強化は恐ろしい・・・・
ちなみに、覚醒+14だとかなりやさしくなり、期待値は20回、
5000粉 | 15回 | 53.2
8000粉 | 30回 | 79.0%
10000粉 | 40回 | 87.7%
20000粉 | 90回 | 99.1%
という感じになる。
とはいえ、１万粉用意して40回たたいても、
+14にさえならない確率が100%-87.7＝12.3%もあるのか・・・
計算結果だけ見たい人は強調されてる文字だけ見てね。
あと、計算が間違ってる可能性も十分にあるので、それを考慮して読んでね。
まず、１本作るのに必要な粉の期待値を求めてみる。
・確率論でやってみる
成功率25%、失敗率75%の事象で、3回連続成功したら終了。
終了までの回数の期待値を求めよという問題なので、
まず漸化式を求める。
成功率をp、
K回連続成功するまでの期待値をM[K]、
K-1回連続成功するまでの期待値をM[K-1]とすると、
K-1回連続した後に成功するまでの回数の期待値は、M[K-1]+1
K-1回連続した後に失敗するまでの回数期待値は、M[K-1]+1
失敗の場合は、成功するまでにはさらに期待値でM[K]回かかるので、
K-1回連続した後に失敗し、その後成功するまでの期待値はM[K-1]+1+M[K]
pの確率でM[K-1]+1、(1-p)の確率でM[K-1]+1+M[K]なので、
M[K] = p(M[K-1]+1) + (1-p)(M[K-1]+1+M[K]) となる。
M[K]について解くと、
M[K] = M[k-1]/p + 1/p
M[K]を求めるには、特性方程式を用いて漸化式を解けばいいので、
M[K]+1/(1-p) = (1/p)*(M[k-1]/p + 1/p)
↓
M[K] = (1-p^K)/{p^k*(1-p)}
実際の期待値を求めるには、
成功確率25%→p=0.25、連続3回成功すればおわり→K=3
を代入して解けばいいので、
(1-0.25^3)/(0.25^3*(1-0.25))＝84
というわけで、
実際のゲーム内の強化成功確率が25%である場合、
無限に多い数の武器を+12覚醒済み→+15にするには
その叩く回数の期待値は84回となり、
１本あたり平均16800個の粉と石が必要ということになる。
覚醒も含めたら２万個ぐらいか。
ちなみに、
成功率30%で計算すると約51.5回＝10000粉+覚醒2000粉ほど必要
成功率20%で計算すると約155回＝31000粉＋覚醒2000粉ほど必要
という答えになる。
上で約84回とかいう数字が出てきたが、これは、
「+15武器を無限に作りまくった時に、１本あたり84回」
というデータなだけで、
実際には3回叩くだけで+15になることもあれば、
300回叩いてもまだまだ完成しないこともある。
というわけで、次は、
「K回叩けるだけの粉を用意して、全部使う覚悟で叩いた場合、
どのぐらいの確率で+15が完成するか？」
ということを求める。
・何回叩けば、どのくらいの確率で＋１５になるか？
実際には、N回叩ける量の粉と石を用意して叩くと、
N回までに+15になって粉や石が余るというパターンがあるが、
「N回叩くまでに3回連続で成功する確率」は、
＋１５以降も叩ける場合の「全部の石と粉を使い切ってN回叩いて、
その途中で3回以上連続成功が出てくる確率」と同じなので、
N回の間に確率pの事象が3回以上連続で起こる確率 p(N)
を求める。
まず、この確率p(N)を、以下の４つの場合にわけて考え、
「それぞれの場合の発生確率×その場合の時の成功確率」
の合計を計算することで、確率p(N)を求める。
左が最初、右が最後として、
┌ーーーーーー全部でN個ーーーーーー┐
？？ー？？ー・・・・ー？？ー？？ー失敗 （１）
？？ー？？ー・・・・ー？？ー失敗ー成功 （２）
？？ー？？ー・・・・ー失敗ー成功ー成功 （３）
？？ー？？ー・・・・ー成功ー成功ー成功 （４）
この４パターンに分ける。
（１）は「一番最後が失敗だが、それまでのN-1回で3連続以上成功」
（２）は「一番最後から成功ー失敗だが、それまでのN-2回で3連続以上成功」
（３）は「一番最後から成功ー成功ー失敗だが、それまでのN-3回で3連続以上成功」
（４）は「一番最後から成功ー成功ー成功、それまでは関係ない。」
N回やった時の３連続成功確率をp(N)、
N-1回、N-2回、N-3回やった時の３連続成功確率をp(N-1)、p(N-2)、p(N-3)
とすると、
（１）＝0.75*p(N-1)
（２）＝0.25*0.75*p(N-2)
（３）＝0.25*0.25*0.75*p(N-3)
（４）＝0.25*0.25*0.25
p(N)＝（１）＋（２）＋（３）＋（４）
＝0.75*p(N-1) + 0.1875*p(N-2) + 0.046875*p(N-3) + 0.015625
となり、p(N)は、p(N-1),p(N-2),p(N-3)が求まれば計算できる。
まず、叩く回数が2回以下だと、何をどうやっても+12→+15は無理なので、
p(0)=0, p(1)=0, p(2)=0 となる。
これを使うと、
p(3)＝0.75*p(2) + 0.1875*p(1) + 0.046875*p(0) + 0.015625
=0 + 0 + 0 + 0.015625
=0.015625
と、p(3)が求まる。
さらにこれを使えば、p(4)が求まるし、p(4)が求まると、次はp(5)が求まる。
というようにして、順に求めていくことができる。
以下がその計算結果だ。
覚醒強化用に用意した粉の数（覚醒含む） | 叩ける回数 | +15ができる確率
2000粉 | 0回 | 0%
2600粉 | 3回 | 1.5%
3000粉 | 5回 | 3.9%
4000粉 | 10回 | 9.6%
5000粉 | 15回 | 14.9%
6000粉 | 20回 | 20.0%
7000粉 | 25回 | 24.7%
8000粉 | 30回 | 29.2%
9000粉 | 35回 | 33.4%
10000粉 | 40回 | 37.3%
15000粉 | 65回 | 53.8%
20000粉 | 90回 | 66.0%
30000粉 | 140回 | 81.5%
50000粉 | 240回 | 94.5%
まー分かってたことだけど、
粉を万単位用意しないとそもそも成功とか無理だし、
万単位で用意しても、成功できないこともかなりあるという感じだ。
ちなみに、
覚醒用2000+上で計算した期待値の16800粉用意して叩くと、
63.4%の確率で+15に成功するという計算結果になる。
逆に、36%の確率で、用意した粉を全部使ってもできないということだ・・・
一応、強化成功率を30%で計算するとこうなる。
覚醒強化用に用意した粉の数（覚醒含む） | 叩ける回数 | +15ができる確率
2000粉 | 0回 | 0%
2600粉 | 3回 | 2.7%
3000粉 | 5回 | 6.4%
4000粉 | 10回 | 15.5%
5000粉 | 15回 | 23.6%
6000粉 | 20回 | 31.0%
7000粉 | 25回 | 37.6%
8000粉 | 30回 | 43.6%
9000粉 | 35回 | 49.1%
10000粉 | 40回 | 54.0%
15000粉 | 65回 | 72.3%
20000粉 | 90回 | 83.3%
30000粉 | 140回 | 93.9%
50000粉 | 240回 | 99.2%
こちらだと、かなりやさしい。
1万～2万粉用意すればいけるんじゃね？という感じだ。
2キャラでケル３分回しした場合で換算すれば、１２５時間～２５０時間だ。
強化石代も含めるともっとか。
覚醒強化は恐ろしい・・・・
ちなみに、覚醒+14だとかなりやさしくなり、期待値は20回、
5000粉 | 15回 | 53.2
8000粉 | 30回 | 79.0%
10000粉 | 40回 | 87.7%
20000粉 | 90回 | 99.1%
という感じになる。
とはいえ、１万粉用意して40回たたいても、
+14にさえならない確率が100%-87.7＝12.3%もあるのか・・・
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